Заголовок:
Комментарий:
Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
РЕШУ ЦТ — математика ЦЭ
Вариант № 81
1.  
i

В тет­ра­эд­ре SABC с реб­ром 24 точка P при­над­ле­жит SC так, что SC : PC = 2 : 1 и AS:AM = 2: 1, CN: BN =1:3. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния тет­ра­эд­ра плос­ко­стью MNP.

1) 18 плюс 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та
2) 27 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 37 конец ар­гу­мен­та
3) 18 плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 37 конец ар­гу­мен­та
4) 81 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та
5) 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та
2.  
i

Куб впи­сан в пра­виль­ную че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду так, что че­ты­ре его вер­ши­ны на­хо­дят­ся на бо­ко­вых реб­рах пи­ра­ми­ды, а че­ты­ре дру­гие вер­ши­ны  — на ее ос­но­ва­нии. Длина сто­ро­ны ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 2, вы­со­та пи­ра­ми­ды  — 6. Най­ди­те пло­щадь S по­верх­но­сти куба. В ответ за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 4S.

3.  
i

Сфера про­хо­дит через все вер­ши­ны ниж­не­го ос­но­ва­ния пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­мы и ка­са­ет­ся ее верх­не­го ос­но­ва­ния. Най­ди­те пло­щадь сферы, если пло­щадь диа­го­наль­но­го се­че­ния приз­мы равна дробь: чис­ли­тель: 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: Пи конец дроби , а вы­со­та приз­мы в два раза мень­ше ра­ди­у­са сферы.

4.  
i

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, длина ги­по­те­ну­зы ко­то­ро­го равна 6, ост­рый угол равен 30°. Каж­дая бо­ко­вая грань пи­ра­ми­ды на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом, рав­ным арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 10 конец дроби . Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

5.  
i

Через точку A вы­со­ты SO ко­ну­са про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная ос­но­ва­нию. Опре­де­ли­те, во сколь­ко раз пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са боль­ше пло­ща­ди по­лу­чен­но­го се­че­ния, если SA : AO = 2 : 3.

1) целая часть: 6, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4
2) целая часть: 7, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4
3) целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4
4) целая часть: 1, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2
5) целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2
6.  
i

Объем ко­ну­са равен 5, а его вы­со­та равна дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Най­ди­те пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са.

1) дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби
2) дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби
3) 10
4) 30
5) дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби
7.  
i

Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пря­мой тре­уголь­ной приз­мы, опи­сан­ной около шара, если пло­щадь ос­но­ва­ния приз­мы равна 7,5.

8.  
i

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна 26 и на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 60°. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са.

1) 338 Пи
2) 338 ко­рень из 3 Пи
3) 169 Пи
4) 260 ко­рень из 3 Пи
5) 676 Пи
9.  
i

Пло­щадь осе­во­го се­че­ния ци­лин­дра равна 10. Пло­щадь его бо­ко­вой по­верх­но­сти равна:

1) 5 Пи
2) 10 Пи
3) 20 Пи
4) 20
5) 10
10.  
i

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна 17, а вы­со­та  — 8 . Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са.

1) 153π
2) 255π
3) 127,5π
4) 510π
5) 136π
11.  
i

Точки A, B, C лежат на боль­шой окруж­но­сти сферы так, что тре­уголь­ник ABC  — рав­но­сто­рон­ний. Если AB  =  3 ко­рень из 6 , то пло­щадь сферы равна:

1) 144π
2) 72π
3) 36π
4) 18π
5) 68π
12.  
i

Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, если длина бис­сек­три­сы ее ос­но­ва­ния равна 4 ко­рень из 3 и плос­кий угол при вер­ши­не 2 арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

13.  
i

ABCDA1B1C1D1  — пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед такой, что AB=12, AD=3. Через се­ре­ди­ны ребер AA1 и BB1 про­ве­де­на плос­кость (см.рис.), со­став­ля­ю­щая угол 60° с плос­ко­стью ос­но­ва­ния ABCD. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да этой плос­ко­стью.

1) 72
2) 36 ко­рень из 3
3) 36
4) 18
5) 36 ко­рень из 2
14.  
i

ABCDA1B1C1D1  — куб, длина ребра ко­то­ро­го равна 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та . Сфера про­хо­дит через его вер­ши­ны В и D1 и се­ре­ди­ны ребер BB1 и CC1. Най­ди­те пло­щадь сферы S, в ответ за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби .

15.  
i

ABCA1В1С1  — пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, у ко­то­рой сто­ро­на ос­но­ва­ния и бо­ко­вое ребро имеют длину 6. Через се­ре­ди­ны ребер АС и BB1 и вер­ши­ну A1 приз­мы про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы этой плос­ко­стью.

16.  
i

ABCDA1B1C1D1  — пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед, у ко­то­ро­го AB  =  4, AD  =  3, AA_1 = 2 ко­рень из 5 . Най­ди­те длину про­стран­ствен­ной ло­ма­ной B1A1C1D (см. рис.).

1) 7 плюс 2 ко­рень из 5
2) 15
3) 14
4) 16
5) 12
17.  
i

Пря­мая a пе­ре­се­ка­ет плос­кость α в точке A и об­ра­зу­ет с этой плос­ко­стью угол 30°. Точка B лежит на пря­мой a, при­чем A B=6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . Най­ди­те длину про­ек­ции от­рез­ка AB на плос­кость α.

1) 3 ко­рень из 2
2) 3 ко­рень из 3
3) 6 ко­рень из 6
4) 3 ко­рень из 6
5) 6 ко­рень из 3
18.  
i

Длина одной сто­ро­ны пря­мо­уголь­но­го участ­ка на 25 м мень­ше дру­гой. Най­ди­те все зна­че­ния длины (в мет­рах) его боль­шей сто­ро­ны а, при ко­то­рых для пол­но­го ограж­де­ния участ­ка будет ис­поль­зо­ва­но не более 240 м де­ко­ра­тив­ной сетки.

1) 25 ≤ a < 72,5
2) 25 < a ≤ 145
3) 0 < a ≤ 72,5
4) 0 < a ≤ 67,5
5) 25 < a ≤ 72,5
19.  
i

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен 16. Плос­кость, па­рал­лель­ная оси ци­лин­дра, пе­ре­се­ка­ет ци­линдр по пря­мо­уголь­ни­ку с пло­ща­дью, рав­ной 120. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния дробь: чис­ли­тель: V, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби , где V  — объем ци­лин­дра, если рас­сто­я­ние от плос­ко­сти се­че­ния до оси ци­лин­дра равно 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та .

20.  
i

Дана тре­уголь­ная пи­ра­ми­да SABC. Точки К и N яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми ребер SA и АС со­от­вет­ствен­но, точка М лежит на пря­мой SB (см. рис.). Вы­бе­ри­те три вер­ных утвер­жде­ния.

1.  Пря­мая KN па­рал­лель­на плос­ко­сти BSC.

2.  Пря­мая NM пе­ре­се­ка­ет плос­кость BSC.

3.  Пря­мая КМ пе­ре­се­ка­ет пря­мую ВС.

4.  Пря­мая КМ лежит в плос­ко­сти ASВ.

5.  Пря­мая NM пе­ре­се­ка­ет пря­мую ВС.

6.  Пря­мая KN пе­ре­се­ка­ет плос­кость BSC.

 

Ответ за­пи­ши­те циф­ра­ми (по­ря­док за­пи­си цифр не имеет зна­че­ния). На­при­мер: 135.

21.  
i

ABCA1B1C1  — пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, все ребра ко­то­рой равны 6. Точки P и K  — се­ре­ди­ны ребер B1C1 и CC1 со­от­вет­ствен­но, M ∈ AA1, A1M : A1A  =  1 : 3 (см. рис.). Най­ди­те уве­ли­чен­ный в 25 раз квад­рат длины от­рез­ка, по ко­то­ро­му плос­кость, про­хо­дя­щая через точки M, K, P, пе­ре­се­ка­ет грань AA1B1B.

22.  
i

Объем пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC равен 13. Через сто­ро­ну ос­но­ва­ния ВС про­ве­де­но се­че­ние, де­ля­щее по­по­лам дву­гран­ный угол SBCA и пе­ре­се­ка­ю­щее бо­ко­вое ребро SA в точке М. Объем пи­ра­ми­ды МАВС равен 6. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: ко­си­нус альфа конец дроби , где альфа   — угол между плос­ко­стью ос­но­ва­ния и плос­ко­стью бо­ко­вой грани пи­ра­ми­ды SABC.

23.  
i

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC бо­ко­вое ребро SB пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния ABC. Через се­ре­ди­ны ребер AB и SA про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость, па­рал­лель­ная ребру AC. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 5 · S, где S  — пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды этой плос­ко­стью, если AC  =  32, SB  =  2.

24.  
i

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC бо­ко­вое ребро SA пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния ABC. Через се­ре­ди­ны ребер AB и SB про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость, па­рал­лель­ная ребру BC. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 3 · S, где S  — пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды этой плос­ко­стью, если BC  =  6, SA  =  8.

25.  
i

SABCD  — пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да, все ребра ко­то­рой равны 48. Точка M  — се­ре­ди­на ребра SD. Точка N при­над­ле­жит SC, СN : NS  =  1 : 3 (см. рис.). Най­ди­те длину от­рез­ка, по ко­то­ро­му плос­кость, про­хо­дя­щая через точки M и N па­рал­лель­но ребру SA, пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние ABCD пи­ра­ми­ды.

1) 16 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та
2) 16 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та
3) 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 37 конец ар­гу­мен­та
4) 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та
5) 56
26.  
i

Если плос­кость ка­са­ет­ся сферы, диа­метр ко­то­рой равен 12, то рас­сто­я­ние от цен­тра сферы до точки ка­са­ния равно:

1) 10
2) 12
3) 6
4) 18
5) 24
27.  
i

ABCA1B1C1  — пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, все ребра ко­то­рой равны 24 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Точки P и K  — се­ре­ди­ны ребер A1B1 и AA1 со­от­вет­ствен­но, M при­над­ле­жит B_1C_1, C_1M:C_1B_1 = 1:3. Най­ди­те длину от­рез­ка, по ко­то­ро­му плос­кость, про­хо­дя­щая через M, P, K, пе­ре­се­ка­ет грань BB1C1C.

1) 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та
2) 20 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та
3) 18 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та
4) 10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та
5) 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та
28.  
i

Бокал имеет форму ко­ну­са. В него на­ли­та вода на вы­со­ту, рав­ную 4. Если в бокал до­лить воды объ­е­мом, рав­ным одной чет­вер­той объ­е­ма на­ли­той воды, то вода ока­жет­ся на вы­со­те, рав­ной:

1) ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 100 конец ар­гу­мен­та
2) 2 ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та
3) 2 ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та
4) 2 ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та
5) 2 ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 25 конец ар­гу­мен­та
29.  
i

Най­ди­те длину ребра пра­виль­ной пя­ти­уголь­ной пи­ра­ми­ды, у ко­то­рой бо­ко­вое ребро равно ребру ос­но­ва­ния, а сумма длин всех ребер равна 30.

1) 2
2) 3
3) 5
4) 6
5) 9
30.  
i

В ос­но­ва­нии пря­мой че­ты­рех­уголь­ной приз­мы ABCDA1B1C1D1 лежит тра­пе­ция ABCD, у ко­то­рой ∠C = 90°, BC и AD  — ос­но­ва­ния, BC = CC1. Плос­кость, ко­то­рая про­хо­дит через ребро DC и вер­ши­ну A1 приз­мы, об­ра­зу­ет угол альфа = арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби с плос­ко­стью ос­но­ва­ния (см. рис.) и от­се­ка­ет часть NC1CA1D1D. Если объем приз­мы равен 48, то объем остав­шей­ся части равен … .